Объём и площадь поверхности: цилиндр, конус, шар

barsik

Фигуры вращения — цилиндр, конус, шар — часто встречаются в задачах и в реальной жизни.
Банка, ведро, мяч, колонна — всё это примеры этих форм.

Чтобы решать задачи правильно, нужно знать две вещи:

объём — сколько вмещается внутри,
площадь поверхности — сколько материала нужно, чтобы её покрыть.

Мы разберём всё по порядку:
четко, без лишней сложности, с примерами.

Цилиндр: объём и площадь боковой и полной поверхности

Цилиндр — это как столб или банка.
Имеет два одинаковых круглых основания и боковую поверхность.

Объём цилиндра: V = πr²h

Чтобы найти, сколько в нём “помещается”, умножаем площадь основания на высоту.

Формула:
V = π × r² × h
Где:

r — радиус основания,
h — высота цилиндра.

Пример:
r = 3 см, h = 10 см
V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282,6 см³

Площадь поверхности цилиндра: S = 2πr² + 2πrh

Полная площадь — это два основания + боковая поверхность.

Площадь двух кругов: 2πr²
Боковая поверхность (развёртка — прямоугольник): 2πrh

Итого:
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Пример:
r = 3 см, h = 10 см
S = 2π×3×(3 + 10) = 6π×13 = 78π ≈ 245 см²

Запомните:

Объём — в кубических единицах (см³, м³),
Площадь — в квадратных (см², м²).

Конус: острый, но предсказуемый

Конус — как рожок мороженого или колпак.
Есть круглое основание и вершина.

Объём конуса: V = ⅓πr²h

Объём конуса в три раза меньше, чем у цилиндра с теми же r и h.

Формула:
V = ⅓ × π × r² × h
Где:

r — радиус основания,
h — высота (от центра основания до вершины).

Пример:
r = 4 м, h = 6 м
V = ⅓ × π × 16 × 6 = 32π ≈ 100,5 м³

Площадь поверхности конуса: S = πr² + πrl

Состоит из:

Круглого основания: πr²,
Боковой поверхности: πrl,
где l — образующая (расстояние от вершины до края основания).

Формула:
S = πr(r + l)

Пример:
r = 4 м, l = 5 м
S = π×4×(4 + 5) = 4π×9 = 36π ≈ 113,04 м²

️ Важно: если даны высота и радиус, но нет образующей — найдите её по теореме Пифагора:
l = √(r² + h²)

Шар: идеальная фигура

Шар — это трёхмерная сфера.
У него нет рёбер, граней, только радиус.

Объём шара: V = ⁴⁄₃πr³

Чем больше радиус, тем быстрее растёт объём — ведь он в кубе.

Формула:
V = ⁴⁄₃ × π × r³

Пример:
r = 3 см
V = ⁴⁄₃ × π × 27 = 36π ≈ 113,04 см³

Площадь поверхности шара: S = 4πr²

Это площадь всей внешней оболочки — как кожура арбуза.

Формула:
S = 4 × π × r²

Пример:
r = 5 м
S = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314 м²

Интересно:
Площадь поверхности шара равна площади четырёх кругов того же радиуса.

Как запомнить формулы? Простые подсказки

Не пытайтесь вызубрить всё.
Лучше поймите логику:

Фигура	Объём	Площадь поверхности
Цилиндр	πr²h (как призма)	2πr² + 2πrh
Конус	⅓πr²h (треть от цилиндра)	πr² + πrl
Шар	⁴⁄₃πr³ (самый “плотный”)	4πr²

Советы:

У конуса объём — с коэффициентом ⅓,
У шара — ⁴⁄₃ и r³,
Площадь шара — 4πr², как 4 круга,
У цилиндра и конуса — πr² в основании.

Алекс44

А как найти объем усеченного конуса? В учебнике только полный конус разобран, а в задаче даны два радиуса и высота. Нужно ли выводить формулу самостоятельно или есть готовая?

Ванек

Формула V = ⅓πh(R² + Rr + r²), где R и r — радиусы оснований. Например, при R=5, r=3, h=4: V = ⅓π4(25 + 15 + 9) ≈ 68π ≈ 213.6 ед³. Главное — не перепутать порядок радиусов при подстановке в формулу. Можно запомнить через мнемонику: “Больший квадрат, плюс произведение, плюс меньший квадрат”.

Василий

Как запомнить, что объем шара в 1.5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра? Все время путаю коэффициенты. И почему именно такое соотношение?

Wowk

Запомни через пропорции: цилиндр 3 единицы, конус 1 единица, шар 2 единицы объема. Для шара V = ⁴⁄₃πr³, для цилиндра πr²*2r = 2πr³. Соотношение: (⁴⁄₃πr³)/(2πr³) = ⁴⁄₆ = ²⁄₃. То есть шар занимает 2/3 объема цилиндра, что действительно примерно в 1.5 раза меньше.

Алекс44

В задаче даны: площадь боковой поверхности цилиндра 100π и высота 5. Как найти радиус? Нужно ли сначала находить полную поверхность?

Ванек

Боковая поверхность Sб = 2πrh. Подставляем известное: 100π = 2πr5. Сокращаем π: 100 = 10r, значит r = 10. Полную поверхность можно найти потом по формуле Sполн = 2πr(h + r) = 2π10(5+10) = 300π.

Василий

Если известна образующая конуса l = 13 и высота h = 5, как найти площадь полной поверхности? Нужно ли сначала вычислять радиус?

Wowk

Обязательно! Используй теорему Пифагора: r = √(l² - h²) = √(169 - 25) = √144 = 12. Тогда Sполн = πr(l + r) = π12(13+12) = 300π. Всегда проверяй, существует ли такой конус (l > h и l > r).

Алекс44

Как вычислить объем шарового сегмента? Например, шар радиусом 10 см, высота сегмента 4 см. Для меня это путаница.

Ванек

Формула Vсегм = πh²(R - h/3), где R — радиус шара, h — высота сегмента. Для R=10, h=4: V = π16(10 - 4/3) = π16(26/3) ≈ 435.6 см³. Проверь, что h ≤ 2R, иначе это не сегмент!

Василий

Почему площадь сферы именно 4πr²? Есть ли в данном случае логическое объяснение, а не просто заучивание формулы?

Wowk

Можно представить развертку сферы: она не развертывается на плоскость без искажений, но Архимед доказал, что площадь равна площади четырех кругов того же радиуса. Еще можно вывести через интегрирование, но для школы лучше запомнить аналогию с 4 кругами.

Алекс44

Как найти высоту цилиндра, если известен объем 200π и радиус 5? Кажется, просто, но я запутался в единицах измерения.

Ванек

Из V = πr²h получаем h = V/(πr²) = 200π/(π*25) = 8. Важно: если объем в см³, то высота получится в см. Всегда проверяй соразмерность единиц: не смешивай, например, метры и сантиметры.

Василий

В конусе известны: радиус 6, площадь боковой поверхности 60π. Как найти объем? Нужно ли сначала найти образующую и высоту?

Wowk

Да, обязательно! Из Sбок = πrl найдем l = Sбок/(πr) = 60π/(π6) = 10. Затем высота h = √(l² - r²) = √(100-36)=8. Тогда объем V = ⅓πr²h = ⅓π36*8 = 96π.

Алекс44

Если шар вписан в куб со стороной 10 см, как найти объем шара и что останется “пустого” в углах куба? Есть стандартные варианты?

Ванек

Радиус шара равен половине стороны куба: r=5. Объем шара Vш = ⁴⁄₃π*125 ≈ 523.6 см³. Объем куба 1000 см³. Пустого пространства: 1000 - 523.6 = 476.4 см³. Это примерно 47.6% объема куба!

Василий

Как на практике измерить образующую конуса и чтобы это было просто и понятно всем? Например, нужно сделать чехол для конусной крыши.