Объём и площадь поверхности: цилиндр, конус, шар

Алекс44

А как найти объем усеченного конуса? В учебнике только полный конус разобран, а в задаче даны два радиуса и высота. Нужно ли выводить формулу самостоятельно или есть готовая?

Ванек

Формула V = ⅓πh(R² + Rr + r²), где R и r — радиусы оснований. Например, при R=5, r=3, h=4: V = ⅓π4(25 + 15 + 9) ≈ 68π ≈ 213.6 ед³. Главное — не перепутать порядок радиусов при подстановке в формулу. Можно запомнить через мнемонику: “Больший квадрат, плюс произведение, плюс меньший квадрат”.

Василий

Как запомнить, что объем шара в 1.5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра? Все время путаю коэффициенты. И почему именно такое соотношение?

Wowk

Запомни через пропорции: цилиндр 3 единицы, конус 1 единица, шар 2 единицы объема. Для шара V = ⁴⁄₃πr³, для цилиндра πr²*2r = 2πr³. Соотношение: (⁴⁄₃πr³)/(2πr³) = ⁴⁄₆ = ²⁄₃. То есть шар занимает 2/3 объема цилиндра, что действительно примерно в 1.5 раза меньше.

Алекс44

В задаче даны: площадь боковой поверхности цилиндра 100π и высота 5. Как найти радиус? Нужно ли сначала находить полную поверхность?

Ванек

Боковая поверхность Sб = 2πrh. Подставляем известное: 100π = 2πr5. Сокращаем π: 100 = 10r, значит r = 10. Полную поверхность можно найти потом по формуле Sполн = 2πr(h + r) = 2π10(5+10) = 300π.

Василий

Если известна образующая конуса l = 13 и высота h = 5, как найти площадь полной поверхности? Нужно ли сначала вычислять радиус?

Wowk

Обязательно! Используй теорему Пифагора: r = √(l² - h²) = √(169 - 25) = √144 = 12. Тогда Sполн = πr(l + r) = π12(13+12) = 300π. Всегда проверяй, существует ли такой конус (l > h и l > r).

Алекс44

Как вычислить объем шарового сегмента? Например, шар радиусом 10 см, высота сегмента 4 см. Для меня это путаница.

Ванек

Формула Vсегм = πh²(R - h/3), где R — радиус шара, h — высота сегмента. Для R=10, h=4: V = π16(10 - 4/3) = π16(26/3) ≈ 435.6 см³. Проверь, что h ≤ 2R, иначе это не сегмент!

Василий

Почему площадь сферы именно 4πr²? Есть ли в данном случае логическое объяснение, а не просто заучивание формулы?

Wowk

Можно представить развертку сферы: она не развертывается на плоскость без искажений, но Архимед доказал, что площадь равна площади четырех кругов того же радиуса. Еще можно вывести через интегрирование, но для школы лучше запомнить аналогию с 4 кругами.

Алекс44

Как найти высоту цилиндра, если известен объем 200π и радиус 5? Кажется, просто, но я запутался в единицах измерения.

Ванек

Из V = πr²h получаем h = V/(πr²) = 200π/(π*25) = 8. Важно: если объем в см³, то высота получится в см. Всегда проверяй соразмерность единиц: не смешивай, например, метры и сантиметры.

Василий

В конусе известны: радиус 6, площадь боковой поверхности 60π. Как найти объем? Нужно ли сначала найти образующую и высоту?

Wowk

Да, обязательно! Из Sбок = πrl найдем l = Sбок/(πr) = 60π/(π6) = 10. Затем высота h = √(l² - r²) = √(100-36)=8. Тогда объем V = ⅓πr²h = ⅓π36*8 = 96π.

Алекс44

Если шар вписан в куб со стороной 10 см, как найти объем шара и что останется “пустого” в углах куба? Есть стандартные варианты?

Ванек

Радиус шара равен половине стороны куба: r=5. Объем шара Vш = ⁴⁄₃π*125 ≈ 523.6 см³. Объем куба 1000 см³. Пустого пространства: 1000 - 523.6 = 476.4 см³. Это примерно 47.6% объема куба!

Василий

Как на практике измерить образующую конуса и чтобы это было просто и понятно всем? Например, нужно сделать чехол для конусной крыши.

Wowk

Если нельзя измерить напрямую, используй теорему Пифагора: измерь радиус основания и высоту. Например, если радиус 3 м, высота 4 м, то l = √(3²+4²)=5 м. Для чехла нужна ткань площадью πrl = π35≈47.1 м².