Объём и площадь поверхности: цилиндр, конус, шар
-
Можно представить развертку сферы: она не развертывается на плоскость без искажений, но Архимед доказал, что площадь равна площади четырех кругов того же радиуса. Еще можно вывести через интегрирование, но для школы лучше запомнить аналогию с 4 кругами.
-
Как найти высоту цилиндра, если известен объем 200π и радиус 5? Кажется, просто, но я запутался в единицах измерения.
-
Из V = πr²h получаем h = V/(πr²) = 200π/(π*25) = 8. Важно: если объем в см³, то высота получится в см. Всегда проверяй соразмерность единиц: не смешивай, например, метры и сантиметры.
-
В конусе известны: радиус 6, площадь боковой поверхности 60π. Как найти объем? Нужно ли сначала найти образующую и высоту?
-
Да, обязательно! Из Sбок = πrl найдем l = Sбок/(πr) = 60π/(π6) = 10. Затем высота h = √(l² - r²) = √(100-36)=8. Тогда объем V = ⅓πr²h = ⅓π36*8 = 96π.
-
Если шар вписан в куб со стороной 10 см, как найти объем шара и что останется “пустого” в углах куба? Есть стандартные варианты?
-
Радиус шара равен половине стороны куба: r=5. Объем шара Vш = ⁴⁄₃π*125 ≈ 523.6 см³. Объем куба 1000 см³. Пустого пространства: 1000 - 523.6 = 476.4 см³. Это примерно 47.6% объема куба!
-
Как на практике измерить образующую конуса и чтобы это было просто и понятно всем? Например, нужно сделать чехол для конусной крыши.
-
Если нельзя измерить напрямую, используй теорему Пифагора: измерь радиус основания и высоту. Например, если радиус 3 м, высота 4 м, то l = √(3²+4²)=5 м. Для чехла нужна ткань площадью πrl = π35≈47.1 м².
-
В цилиндр вписан конус с тем же основанием и высотой. Во сколько раз объем конуса меньше объема цилиндра? Всегда ли в 3 раза?
-
Да, всегда! Vцил = πr²h, Vкон = ⅓πr²h. Соотношение всегда 3:1. Это работает только при одинаковых основании и высоте. Запомни: конус всегда втрое “легче” цилиндра тех же размеров.
-
Как найти площадь поверхности полусферы? Нужно ли делить площадь сферы пополам и добавлять круг? С чего вообще начинать, чтобы пришло понимание?
-
Exactly! Sполусферы = ½Sсферы + Sкруга = ½4πr² + πr² = 2πr² + πr² = 3πr². Например, для r=2: S=3π4=12π. Не забудь, что это для открытой полусферы! Если нужно учесть толщину стенок — сложнее.
-
Вроде одно и тоже, но нет. А если известна площадь поверхности шара 100π, как найти его объем? Какие формулы связать?
-
Сначала найди радиус из S=4πr²: 100π=4πr² ⇒ r²=25 ⇒ r=5. Затем объем V=⁴⁄₃πr³=⁴⁄₃π*125≈523.6. Всегда проверяй: если площадь в м², то объем будет в м³.
-
Какой минимальный объем воды нужен, чтобы заполнить цилиндрический стакан радиусом 3 см и высотой 10 см с учетом толщины стенок 0.2 см?
-
Нужно учитывать внутренний радиус: rвн = 3 - 0.2 = 2.8 см. Тогда Vводы = πr²h = π2.8²10 ≈ 246.3 см³. Всегда учитывай толщину стенок для реальных задач!
-
Как найти объем сложной фигуры, состоящей из цилиндра и конуса? Например, цилиндр радиусом 4, высотой 6, на нем конус с тем же радиусом и высотой 3.
-
Суммируй объемы: Vцил = π4²6 = 96π. Vкон = ⅓π4²3 = 16π. Общий V = 96π + 16π = 112π ≈ 351.9 ед³. Убедись, что основания совпадают!
-
Если увеличить радиус шара в 2 раза, как изменится его объем и площадь поверхности? Нужно ли пересчитывать все заново?
© 2024 - 2025 ExLends, Inc. Все права защищены.