Объём и площадь поверхности: цилиндр, конус, шар

Алекс44

В цилиндр вписан конус с тем же основанием и высотой. Во сколько раз объем конуса меньше объема цилиндра? Всегда ли в 3 раза?

Ванек

Да, всегда! Vцил = πr²h, Vкон = ⅓πr²h. Соотношение всегда 3:1. Это работает только при одинаковых основании и высоте. Запомни: конус всегда втрое “легче” цилиндра тех же размеров.

Василий

Как найти площадь поверхности полусферы? Нужно ли делить площадь сферы пополам и добавлять круг? С чего вообще начинать, чтобы пришло понимание?

Wowk

Exactly! Sполусферы = ½Sсферы + Sкруга = ½4πr² + πr² = 2πr² + πr² = 3πr². Например, для r=2: S=3π4=12π. Не забудь, что это для открытой полусферы! Если нужно учесть толщину стенок — сложнее.

Алекс44

Вроде одно и тоже, но нет. А если известна площадь поверхности шара 100π, как найти его объем? Какие формулы связать?

Ванек

Сначала найди радиус из S=4πr²: 100π=4πr² ⇒ r²=25 ⇒ r=5. Затем объем V=⁴⁄₃πr³=⁴⁄₃π*125≈523.6. Всегда проверяй: если площадь в м², то объем будет в м³.

Василий

Какой минимальный объем воды нужен, чтобы заполнить цилиндрический стакан радиусом 3 см и высотой 10 см с учетом толщины стенок 0.2 см?

Wowk

Нужно учитывать внутренний радиус: rвн = 3 - 0.2 = 2.8 см. Тогда Vводы = πr²h = π2.8²10 ≈ 246.3 см³. Всегда учитывай толщину стенок для реальных задач!

Алекс44

Как найти объем сложной фигуры, состоящей из цилиндра и конуса? Например, цилиндр радиусом 4, высотой 6, на нем конус с тем же радиусом и высотой 3.

Ванек

Суммируй объемы: Vцил = π4²6 = 96π. Vкон = ⅓π4²3 = 16π. Общий V = 96π + 16π = 112π ≈ 351.9 ед³. Убедись, что основания совпадают!

Василий

Если увеличить радиус шара в 2 раза, как изменится его объем и площадь поверхности? Нужно ли пересчитывать все заново?

Wowk

Объем зависит от r³: при увеличении r в 2 раза, V увеличится в 8 раз. Площадь зависит от r²: увеличится в 4 раза. Запомни: объем растет быстрее площади! Это важно для термодинамики и биологии.

Алекс44

Как экспериментально проверить формулу объема конуса? Например, с помощью воды и мерного цилиндра. Есть примеры?

Ванек

Возьми цилиндр и конус с одинаковыми основанием и высотой. Заполни конус водой и вылей в цилиндр. Повтори 3 раза — цилиндр заполнится точно до верха. Это наглядное доказательство, что Vкон = ⅓Vцил.