Объём и площадь поверхности: цилиндр, конус, шар

barsik

Фигуры вращения — цилиндр, конус, шар — часто встречаются в задачах и в реальной жизни.
Банка, ведро, мяч, колонна — всё это примеры этих форм.

Чтобы решать задачи правильно, нужно знать две вещи:

Мы разберём всё по порядку:
четко, без лишней сложности, с примерами.

Цилиндр: объём и площадь боковой и полной поверхности

Цилиндр — это как столб или банка.
Имеет два одинаковых круглых основания и боковую поверхность.

Чтобы найти, сколько в нём “помещается”, умножаем площадь основания на высоту.

Формула:
V = π × r² × h
Где:

Пример:
r = 3 см, h = 10 см
V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282,6 см³

Полная площадь — это два основания + боковая поверхность.

Итого:
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Пример:
r = 3 см, h = 10 см
S = 2π×3×(3 + 10) = 6π×13 = 78π ≈ 245 см²

Запомните:

Конус — как рожок мороженого или колпак.
Есть круглое основание и вершина.

Объём конуса в три раза меньше, чем у цилиндра с теми же r и h.

Формула:
V = ⅓ × π × r² × h
Где:

Пример:
r = 4 м, h = 6 м
V = ⅓ × π × 16 × 6 = 32π ≈ 100,5 м³

Состоит из:

Круглого основания: πr²,
Боковой поверхности: πrl,
где l — образующая (расстояние от вершины до края основания).

Формула:
S = πr(r + l)

Пример:
r = 4 м, l = 5 м
S = π×4×(4 + 5) = 4π×9 = 36π ≈ 113,04 м²

️ Важно: если даны высота и радиус, но нет образующей — найдите её по теореме Пифагора:
l = √(r² + h²)

Шар — это трёхмерная сфера.
У него нет рёбер, граней, только радиус.

Чем больше радиус, тем быстрее растёт объём — ведь он в кубе.

Формула:
V = ⁴⁄₃ × π × r³

Пример:
r = 3 см
V = ⁴⁄₃ × π × 27 = 36π ≈ 113,04 см³

Это площадь всей внешней оболочки — как кожура арбуза.

Формула:
S = 4 × π × r²

Пример:
r = 5 м
S = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314 м²

Интересно:
Площадь поверхности шара равна площади четырёх кругов того же радиуса.

Не пытайтесь вызубрить всё.
Лучше поймите логику:

Советы: