Производные степенной, показательной и логарифмической функций

barsik

Если вы изучаете математику, особенно тему производных, вам обязательно встретятся три важных типа функций: степенная, показательная и логарифмическая. Их производные — основа для решения множества задач в алгебре, физике и экономике.

В этом материале вы узнаете, как быстро и правильно находить производные этих функций. Без сложных обозначений — только понятные объяснения, правила и примеры. Даже если вы впервые сталкиваетесь с этим, всё будет просто и логично.

Как найти производную степенной функции

Степенная функция — это, например, x в квадрате, x в кубе или корень из x. Общий вид: x в степени n, где n — любое число: целое, дробное, положительное или отрицательное.

Основное правило

Чтобы найти производную такой функции, нужно:

Степень (n) поставить в начало как множитель.
Уменьшить степень на единицу.

Например:

Производная от x² — это 2x.
Производная от x³ — это 3x².
Производная от x⁻² — это -2x⁻³.

А что с корнями? Помните: корень из x — это x в степени 1/2. Значит:

Производная от √x = производная от x^(1/2) = (1/2) × x^(-1/2) = 1/(2√x).

Это правило работает всегда, где функция определена. Главное — правильно переписать корень или дробь в виде степени.

Производная показательной функции: когда рост ускоряется

Показательная функция — это, например, 2^x, 5^x или e^x. Она описывает процессы, где что-то растёт или убывает очень быстро: вирусы, деньги на депозите, радиоактивный распад.

Как её дифференцировать?

Производная функции a^x (где a — положительное число, не равное 1) равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a.

Проще говоря:

Производная от 2^x = 2^x × ln(2)
Производная от 10^x = 10^x × ln(10)

Но есть особый случай — число e (примерно 2,718). У него уникальное свойство:

Производная от e^x = e^x

Да, она не меняется! Это делает экспоненту e^x одной из самых важных функций в математике.

Если в степени стоит не просто x, а выражение (например, e^(2x)), используем правило цепочки:

Производная от e^(2x) = e^(2x) × 2 = 2e^(2x)

Производная логарифмической функции: от ln x до log a x

Логарифмическая функция — противоположность показательной. Чаще всего в задачах встречается натуральный логарифм, обозначаемый как ln x. Это логарифм по основанию e.

Простое правило

Производная от ln x равна 1/x.
То есть:

(ln x)' = 1/x

Это работает только при x > 0 — логарифм определён только для положительных чисел.

Если основание другое — например, log₂x (логарифм по основанию 2), то:

Производная от log_a x = 1 / (x × ln a)

Примеры:

Производная от log₂x = 1 / (x × ln 2)
Производная от ln(3x) = 1/(3x) × 3 = 1/x (здесь применяем цепное правило)

Полезные советы для запоминания

Чтобы не путаться, держите в голове:

У степенной функции степень “спускается” вперёд, а сама степень уменьшается на 1.
У показательной функции почти всё остаётся, но добавляется множитель — ln a. Исключение: e^x — она остаётся без изменений.
У логарифма (ln x) производная — просто 1/x. Легко запомнить.

Если аргумент сложный (например, ln(x² + 1) или e^(4x)), не забывайте умножать на производную внутреннего выражения — это цепное правило.

Зная эти три типа, вы сможете находить производные большинства функций, с которыми столкнётесь в школе и вузе. Это фундамент, на котором строится вся дифференциация. Учись понимать — и математика станет проще.

Алекс44

А почему производная e^x равна самой себе? Это какое-то волшебное свойство или есть логическое объяснение?

Ванек

Это следует из определения числа e через предел. Если посмотреть на производную через предел приращения, получится e^x * lim( (e^h - 1)/h ) при h→0, а этот предел равен 1. Вот и выходит e^x.

Василий

И как быть со сложными функциями, например, x^2 * e^x? Какое правило применять? Есть тут только одно направление/комбинация или же есть разлиичные?

Wowk

Тут нужно правило произведения: (uv)’ = u’v + uv’. Для x^2 * e^x будет: (2x * e^x) + (x^2 * e^x) = e^x(2x + x^2). Главное — не забывать про производную каждого множителя.

Алекс44

А если степень дробная, например, x^(3/2)? Как правильно найти производную? Лично мне тут не понятно ничего вообще…

Ванек

Точно так же — выносим степень вперед и уменьшаем на 1: (3/2)x^(3/2 - 1) = (3/2)x^(1/2) = (3/2)√x. Дробные степени подчиняются тем же правилам.

Василий

Почему у логарифма производная именно 1/x? Есть простое какое-то объяснение? Я никак не могу понять эту истину)

Wowk

Можно представить логарифм как обратную функцию к экспоненте. Если y = ln x, то x = e^y. Дифференцируем обе стороны: dx/dy = e^y, значит dy/dx = 1/e^y = 1/x.

Алекс44

Я полностью поддерживаю и как запомнить все эти правила без зубрежки не понимаю? Часто путаю, когда какое правило применять.

Ванек

Лучше всего решать много практических задач. Сначала выделяй тип функции: степенная, показательная, логарифмическая. Потом применяй соответствующее правило. Со временем дойдет до автоматизма.

Алекс44

Что делать, если в показателе степени сложное выражение, например, e^(x^2 + 1)? Или что-то аналогичное. То как можно быстро определение вынести?

Ванек

Использовать цепное правило! Сначала производная внешней функции (e^u остается e^u), потом умножить на производную внутренней: e^(x^2+1) * 2x.