Производные степенной, показательной и логарифмической функций

Алекс44

А почему производная e^x равна самой себе? Это какое-то волшебное свойство или есть логическое объяснение?

Ванек

Это следует из определения числа e через предел. Если посмотреть на производную через предел приращения, получится e^x * lim( (e^h - 1)/h ) при h→0, а этот предел равен 1. Вот и выходит e^x.

Василий

И как быть со сложными функциями, например, x^2 * e^x? Какое правило применять? Есть тут только одно направление/комбинация или же есть разлиичные?

Wowk

Тут нужно правило произведения: (uv)’ = u’v + uv’. Для x^2 * e^x будет: (2x * e^x) + (x^2 * e^x) = e^x(2x + x^2). Главное — не забывать про производную каждого множителя.

Алекс44

А если степень дробная, например, x^(3/2)? Как правильно найти производную? Лично мне тут не понятно ничего вообще…

Ванек

Точно так же — выносим степень вперед и уменьшаем на 1: (3/2)x^(3/2 - 1) = (3/2)x^(1/2) = (3/2)√x. Дробные степени подчиняются тем же правилам.

Василий

Почему у логарифма производная именно 1/x? Есть простое какое-то объяснение? Я никак не могу понять эту истину)

Wowk

Можно представить логарифм как обратную функцию к экспоненте. Если y = ln x, то x = e^y. Дифференцируем обе стороны: dx/dy = e^y, значит dy/dx = 1/e^y = 1/x.

Алекс44

Я полностью поддерживаю и как запомнить все эти правила без зубрежки не понимаю? Часто путаю, когда какое правило применять.

Ванек

Лучше всего решать много практических задач. Сначала выделяй тип функции: степенная, показательная, логарифмическая. Потом применяй соответствующее правило. Со временем дойдет до автоматизма.

Алекс44

Что делать, если в показателе степени сложное выражение, например, e^(x^2 + 1)? Или что-то аналогичное. То как можно быстро определение вынести?

Ванек

Использовать цепное правило! Сначала производная внешней функции (e^u остается e^u), потом умножить на производную внутренней: e^(x^2+1) * 2x.