Как быстро найти площадь треугольника: три формулы, которые выручат на экзамене

barsik

Три самых нужных способа: через высоту, по Герону и через синус угла.

Площадь треугольника — одна из базовых тем в геометрии.
Её нужно знать каждому школьнику и студенту.
Но формул несколько. Какую выбрать?
Всё зависит от того, какие данные у вас есть.

Разберём основные формулы площади треугольника, объясним, когда и как их использовать.
Без лишней воды — только суть, примеры и полезные подсказки.

Как найти площадь треугольника: основные формулы

Существует несколько способов вычислить площадь треугольника.
Выбор зависит от известных параметров: стороны, углы, высота, радиусы окружностей.

Рассмотрим самые популярные и полезные формулы.
Каждая из них пригодится в определённой задаче.

Через основание и высоту: S = ½·a·h

Это самая простая и часто используемая формула площади треугольника.

S = ½ × a × h
Где:

a — длина основания,
h — высота, проведённая к этому основанию.

Представьте: треугольник стоит на стороне a.
Высота h — перпендикуляр от противоположной вершины до этой стороны (или её продолжения).

Пример:
Основание — 10 см, высота — 6 см.
S = ½ × 10 × 6 = 30 см².

Эта формула работает для любого треугольника: остроугольного, тупоугольного, прямоугольного.

По формуле Герона: когда известны три стороны

Идеально подходит, если вы знаете длины всех трёх сторон, но не знаете высоту.

Формула выглядит так:
S = √ [p(p−a)(p−b)(p−c)]
Где:

a, b, c — длины сторон,
p — полупериметр: p = (a + b + c) / 2.

Шаги для расчёта:

Найдите полупериметр.
Подставьте в формулу.
Вычислите корень.

Пример:

Стороны: 3 см, 4 см, 5 см.
p = (3+4+5)/2 = 6
S = √ [6×(6−3)×(6−4)×(6−5)] = √ [6×3×2×1] = √ 36 = 6 см².

Обратите внимание: это прямоугольный треугольник (3-4-5).
Площадь через катеты: ½×3×4 = 6 см². Результат совпадает!

Через две стороны и угол между ними: S = ½·a·b·sin(γ)

Когда известны две стороны и угол между ними — это лучший выбор.

Формула:
S = ½ × a × b × sin(γ)
Где:

a и b — стороны,
γ — угол между ними.

Эта формула особенно полезна в задачах с косинусами и синусами.
Она работает для любого треугольника.

Пример:
Стороны 8 см и 5 см, угол между ними — 30°.
sin(30°) = 0.5
S = ½ × 8 × 5 × 0.5 = 10 см².

Запомните: синус угла — это табличное значение.
Для 30°, 45°, 60°, 90° его нужно знать наизусть.

Как выбрать нужную формулу?

Не нужно учить всё наизусть.
Просто ответьте на вопрос: что вам известно?

Что дано?	Какую формулу использовать?
Основание и высота	S = ½·a·h
Три стороны	Формула Герона
Две стороны и угол между ними	S = ½·a·b·sin(γ)
Катеты прямоугольного треугольника	S = ½·a·b (частный случай)

Главное — не бояться пробовать.
Часто в задаче можно найти недостающие данные с помощью теоремы Пифагора или тригонометрии.